グラフに生命を吹き込む: graph animation

グラフをじっとしたモノと見るよりも、心の眼でうねうねと動き回っているモノと見えるほうが楽しいです。

原画マンの描いた二枚の原画を動画マンが補間するように絵を描く作業を中割というらしいです。

我々も止まっているグラフをみたら、なんちゃって動画マンになって中割作業してみましょう。

この中割に相当するのが、パラメタ(例えば \( t \) )を次のように導入すること。

\( y= f(x) \) のグラフを、初期状態グラフ \( y = f_{t=t_{\rm ini}}(x) \)から終状態グラフ \( y = f_{t=t_{\rm fin}}(x) = f(x) \)へと変化したものとみなす。

一番安直にはxを固定したときのy方向の2点 \( f_{t=t_{\rm ini}}(x), f_{t=t_{\rm fin}}(x)  \)を、線型補間する。

$$ f_t (x) :=  f_{t=t_{\rm ini}}(x) \frac{t- t_{\rm fin}} { t_{\rm ini} – t_{\rm fin}}   +   f_{t=t_{\rm fin}}(x) \frac{ t – t_{\rm ini}} { t_{\rm fin} – t_{\rm ini}}      $$

これ、後日解説予定のLagrange補間式を意識してわざとこんな形に書いています。 例えば、\( y = x \) のグラフを、初期状態\( y = 0 \) つまり\( x \)軸から終状態\( y = x \)と変化したものと考えて上記の「線型中割」すると次のアニメーションになる。

例えば、\( y = x^3-x \) のグラフを、初期状態\( y =x^3  \) つまり変曲点(である原点)における接線が\( x \)軸( \( y=0 \) )である3次曲線から、その接線が\( y= -x \) であるような3次曲線へと変化したものと考えて「線型中割」するとこんな感じ。

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