回転系のゲージ場と有効Aharonov-Bohm効果

今回のあらすじ

  • 使用上の注意(追記 2018/01/28)
    • 非慣性系に発現するゲージ場は、U(1)ゲージ場(電磁場)のアナロジーとして取り扱えることを紹介しますが、もちろんU(1)ゲージ場そのものではないので、適用範囲に注意する必要があります。
      • アナロジーの行き過ぎで失敗する例として、最後にスピン回転結合を紹介してあります。
    • 本来は、非慣性系のゲージ場は一般ゲージ場の枠組み多脚場やスピン接続を用いて議論すべきです。
    • 以下は、アナロジーに過度な期待をせず、あくまでも一般ゲージ場や曲がった時空の場の理論への誘いといった趣旨で楽しんでいただけると幸いです。
  •  回転系の古典自由粒子のハミルトニアン
    • 回転由来の慣性力はゲージ場
      • 遠心力がスカラーポテンシャル
      • コリオリ力はベクトルポテンシャル
  • 回転系の量子力学
    • 回転由来のベクトルポテンシャルから生じる有効AB効果
    • スピン回転結合
  • 参考文献(追記2018/12/09)

(復習)回転系の有効電磁場と測地線方程式

前回、角速度 \( \omega \) で回転する座標系上では回転中心からの位置 \( r \)にある質量 \( m \)の質点には、

遠心力

$$F_1 =\, – m \omega \times (\omega \times r) = m\omega^2 r – m(\omega \cdot r) \omega$$

とコリオリ力

$$ F_2 = – 2m \dot{r} \times \omega$$

が働くことが知られており、それぞれ有効電場 \( E_\omega = -\frac{m}{q}\omega \times (\omega \times r) \)と有効磁場\( B_\omega = -\frac{2m}{q}\omega \)によるローレンツ力とみなせるのでした。

$$ m \frac{d^2 r}{dt^2} = q (E_\omega + \dot{r} \times B_\omega)  $$

この回転系の自由粒子の運動方程式は、曲がった時空上の測地線の方程式

$$ \frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2}  + \Gamma^\mu_{\alpha \beta} \frac{dx^\alpha}{d \tau}\frac{dx^\beta}{d \tau}=0$$

の特殊な場合としても理解でき、一様回転系のアフィン接続

$$  \Gamma^0_{00} = \Gamma^0_{i0}=\Gamma^0_{ij}=\Gamma^i_{jk} =0,  \Gamma^i_{00} = \epsilon_{ijk}\omega_j (\omega \times \dot{r}/c)_k, \Gamma^i_{j0}=-\epsilon_{ijk}\omega_k/c           $$

で、再現されます。

それでは、解析力学のハミルトン形式ではどう表現されるのでしょうか?

回転系の自由粒子のハミルトニアン

慣性系の自由粒子のハミルトニアン

$$ H_0 = \frac{p^2}{2m}  $$

とするとき、回転系では、

$$ H_{\rm rot} = H_0 – (r \times p) \cdot \omega $$

と変換されます(例えばランダウ・リフシッツ「力学」など)。運動量\( p\)について平方完成した、

$$ H_{\rm rot} = \frac{(p- m  \omega\times r)^2}{2m} – \frac{m}{2} (\omega \times r)^2 $$

この形の方が理解しやすいかもしれません。

運動量 \( p \) が、回転速度 \( \omega \times r \) 由来の運動量分\( m \omega \times r \)だけシフトして、\( p- m  \omega\times r \) となり、エネルギーも、回転速度由来のエネルギー \( – \frac{m}{2} (\omega \times r)^2 \)だけシフトしています。

これを例によって慣性系における電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンと比べてみましょう(ここで\( (A_0, A_i) \)は4元電磁ポテンシャル)。

$$ H = \frac{(p_i-qA_i)^2}{2m} + qA_0 $$

にならうと、回転系の自由粒子のハミルトニアンは、

$$ H_{\rm rot} = \frac{(p_i- qA_{\omega,i} )^2 }{2m} + qA_{\omega,0} $$

$$ A_{\omega,0} = -\frac{m}{2q}  (\omega \times r)^2, A_{\omega,i} =  \frac{m}{q}  (\omega\times r)_i $$

と書けます。遠心力がスカラーポテンシャル\(A_{\omega,0} \)に、コリオリ力がベクトルポテンシャル\( A_{\omega,i} \)に対応しています。

つまり、回転はゲージ場 \( A_{\omega,\mu} \)として表せるということです。

また、一様磁場\( B \)中のベクトルポテンシャル\( A_i = \frac{1}{2} (B\times r)_i \)と\( A_{\omega,i} \)比べるとたしかに、

$$ B \leftrightarrow \frac{-2m}{q}\omega $$

という対応になっており、回転の角速度ベクトル\( \omega \)が有効磁場 \(B_\omega = -\frac{2m}{q}\omega \)に相当していることが分かります。

回転系の自由粒子の量子力学と有効AB効果

(スピンを考えない場合)力学的角運動量\(L= r \times p\)が回転の生成子であることから、ユニタリ変換

$$ U = e^{ \frac{L \cdot \omega t}{ i \hbar} }$$

を用いて、

静止系の自由粒子のハミルトニアン

$$ \hat{H}_0 = \frac{p^2}{2m}  $$

は、

$$ \hat{H}_{\rm rot} = U^\dagger \hat{H}_0 U – U^\dagger i\hbar \partial_t U $$

のように変換されます。ここで、第2項(dynamical phase)は、

$$ – U^\dagger i\hbar \partial_t U = – L \cdot \omega $$

となります。これによって、量子力学の場合でも古典力学と同様にベクトルポテンシャル\( A_{\omega,i} \)が登場します。

そこで、鋭い方は、

「ベクトルポテンシャル ⇒ Aharonov-Bohm効果」

の有効磁場バージョン、

「有効ベクトルポテンシャル ⇒ 有効Aharonov-Bohm効果」

による干渉効果があるのではないか?と気付かれたかもしれません。

実際、コリオリ力が引き起こす干渉効果は中性子の量子干渉効果として観測されており、例えばJ.J.Sakurai, “Comments on quantum-mechanical interference due to the Earth’s rotation”, Phys. Rev. D 21, 2993 (1980)という1頁ちょっとの論文には、地球の自転に起因する有効磁場のベクトルポテンシャルから、量子干渉効果(AB効果)が議論されています(サクライ「現代の量子力学(上)」P.173)。

また、古典論になりますが、回転効果による光の干渉効果はサニャック効果と呼ばれ、例えば戦闘機などの加速度センサーに利用されています(サニャック効果については例えば、ランダウ・リフシッツ「場の古典論」の一般相対論の章を参照のこと)。

いずれも回転によって生じる経路差に起因します。

回転系の有効ゼーマン相互作用は?

ここまではスピン角運動量のことを無視してきました。スピンに対する磁場の効果は、ゼーマン相互作用(ここで\(\gamma \)は磁気回転比 )

$$ H_Z =  S \cdot \gamma B $$

ですから、それの回転版として

$$【誤】 B \to B_\omega = -\frac{2m}{q} \omega $$

と置き換えたいところですが、これは誤りです。実は

$$【正】 B \to \tilde{B}_\omega = -\frac{m}{q} \omega $$

が正しい相互作用です。この有効ゼーマン相互作用 \( – S \cdot \omega \)は、スピン回転結合と呼ばれています。

この因子「2」のズレは、磁場が磁気モーメント\( L + 2S \)と結合するのに対して、回転は角運動量 \( L + S\)と結合することに起因しています。

スピンを含めた全角運動量 \( L + S \) が回転の生成子だと考えることで、Dynamical phaseから \( – (L + S) \cdot \omega \)が得られると理解することもできますが、より精密には曲がった時空上のスピノールの方程式である、一般相対論的ディラック方程式を考える必要があります。

真空中の電子のゼーマン相互作用(パウリ項)が特殊相対論的ディラック方程式の低エネルギー展開から導かれたように、スピン回転結合は一般相対論的ディラック方程式から導かれます(例えばHehl-Ni Phys.Rev.D1990)。

 

関連文献

村山斉さんの講義ノートのページにある、「Electromagnetic Couplings」にも電磁相互作用と慣性力の類似が述べられていました(他の講義ノートもすばらしい。宝の山です):

Miscellaneous Notes>Electromagnetic Couplings

 

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