はじめに

これから数回に渡って,量子論における時間依存する摂動計算の出発点となる時間順序積(T積)を用いた級数(ダイソン級数)と相互作用表示についてまとめていきます.

第1回目は,時間依存する要素を持つ$n$次正方行列$A(t)$で表される微分方程式($f(t)$は$n$次元ベクトル)

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = A(t) f(t)
\end{aligned}
$$

を,$T$積を用いた形式解

$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$

に書き換えるお話です.

ここで

$$
\begin{aligned}
T\exp\left( \int_{t_i}^tdt’ A(t’) \right) := \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\int_{t_I}^t dt_1\cdots\int_{t_I}^t dt_n T\Big( A(t_1) \cdots A(t_n) \Big)
\end{aligned}
$$

はダイソン級数と呼ばれています.$T$は時間順序積(あるいはT積)と呼ばれていて,

$$
\begin{aligned}
T(A(t_1) \cdots A(t_n))
\end{aligned}
$$

は,$A(t_1), \cdots, A(t_n)$ の引数$t_1, \cdots, t_n$が,右から左に向かって順番に大きくなるように$A(t_1), \cdots, A(t_n)$を並べ替えた積を意味します.

例えば$n=2$の場合には,

$$
\begin{aligned}
T( A(t_1)A(t_2)) =
\begin{cases}
A(t_1) A(t_2) & \mathrm{t_1>t_2} \\
A(t_2) A(t_1) & \mathrm{t_1<t_2}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

です.ステップ関数$\theta (t)$を

$$
\begin{aligned}
\theta (t) =
\begin{cases}
1 & t>0 \\
0 & t<0
\end{cases}
\end{aligned}
$$

とすると,

$$
\begin{aligned}
T( A(t_1)A(t_2)) = \theta (t_1 -t_2) A(t_1)A(t_2) + \theta (t_2-t_1) A(t_2)A(t_1)
\end{aligned}
$$

とも表せます.

# 背景:この書き換えが役に立つ場面とは

理論物理では,次の微分方程式

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = A(t) f(t)
\end{aligned}
$$

が頻出します.ここで$A(t)$は,$n$次正方行列で,$f(t)$は$n$次元ベクトルとします.

この形式解は時間順序積$T$を用いて,

$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$

と表せます ($t_I$の「$I$」はInitial stateのつもり).

とくに,量子論の状態ベクトルの運動方程式であるシュレーディンガー方程式は,まさに,このタイプの微分方程式です.

$f(t)$として状態ベクトル$|\psi(t)\rangle$,$A(t)$として,$A(t) = H(t)/i\hbar$ ($H(t)$はハミルトニアン)とすると,シュレーディンガー方程式

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}| \psi(t)\rangle = \frac{H(t)}{i\hbar} | \psi(t)\rangle
\end{aligned}
$$

です.

ダイソン級数を使うと,シュレーディンガー方程式の形式解は,

$$
\begin{aligned}
|\psi(t)\rangle = T \exp\left( \int_{t_I}^tdt’ \frac{H(t’)}{i\hbar} \right)|\psi(t_I)\rangle
\end{aligned}
$$

と表せます.
ハミルトニアンはエルミート行列 $H(t)^\dagger = H(t)$ なので ($\dagger$は行列要素を複素共役をとって,行と列を入れ替える操作),

$$
\begin{aligned}
U(t;t_I):= T \exp\left( \int_{t_I}^tdt’ \frac{H(t’)}{i\hbar} \right)
\end{aligned}
$$

は,ユニタリ行列 $U^\dagger U=I$ です(ここで$I$は$n$次の単位行列).つまり,このシュレーディンガー方程式の形式解

$$
\begin{aligned}
|\psi(t)\rangle = U(t;t_I) |\psi(t_I)\rangle
\end{aligned}
$$

は,「状態ベクトルを時刻$t_0$から$t$へと時間推進させる演算子が,
$U(t;t_I)$というユニタリ行列」を意味しています.

シュレーディンガー方程式の性質を調べる代わりに,ダイソン級数で表された時間推進演算子$U(t;t_I)$を調べる,というのが量子論(の摂動計算)でよく使われる手法です.

行列の微分方程式

元のシュレーディンガー方程式に$|\psi(t)\rangle = U(t;t_I) |\psi(t_I)\rangle$を代入すると,行列$U$に対する微分方程式

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} U(t;t_I) = \frac{H(t)}{i\hbar} U(t;t_I)
\end{aligned}
$$

が得られるので,この行列の微分方程式の形式解が,

$$
\begin{aligned}
U(t;t_I)=T\exp\Big( \int_{t_I}^t dt’ \frac{H(t’)}{i\hbar} \Big)
\end{aligned}
$$

である,ともいえます.

形式解の導き方

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = A(t) f(t)
\end{aligned}
$$

から,形式解

$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$

を得るための手順をみていきましょう.

微分方程式

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt_1}f(t_1) = A(t_1) f(t_1)
\end{aligned}
$$

の両辺を$t_1$について,$t_0$から$t$まで積分すると,

$$
\begin{aligned}
f(t) = f(t_I) + \int_{t_I}^t dt_1 A(t_1)f(t_1)
\end{aligned}
$$

と積分方程式に書き換えることができます.この式で,$t \to t_1$, $t_1 \to t_2$と置き換えると,

$$
\begin{aligned}
f(t_1) = f(t_I) + \int_{t_I}^{t_1} dt_2 A(t_2) f(t_2)
\end{aligned}
$$

同様の置き換えで,

$$
\begin{aligned}
f(t_{n}) = f(t_I) + \int_{t_I}^{t_{n}} dt_{n+1} A(t_{t+1}) f(t_{n+1}) \,\,\, (n=0,1,2,\dots)
\end{aligned}
$$

が得られます.
以下では$f_I:=f(t_I)$,$f_{n}:=f(t_n)$,$A_n:=A(t_n)$と略記します.この記法では,

$$
\begin{aligned}
f_{n} = f_I + \int_{t_I}^{t_{n}} dt_{n+1} A_{n+1}f_{n+1}
\end{aligned}
$$

です.
右辺の被積分関数$f_{n+1}$に,繰り返しこの関係式を適用しましょう.

$$
\begin{aligned}
f(t) = f_I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} A_1 f_1
\end{aligned}
$$

の右辺の$f_1$に $f_1 = f_I + \int_{t_I}^{t_1} dt_2 A_2 f_2$を代入すると,

$$
\begin{aligned}
f(t) = f_I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} A_1 f_I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 f_2
\end{aligned}
$$

右辺第3項の$f_2$に,$f_2 = f_I + \int_{t_I}^{t_2} dt_3 A_3 f_3$を代入すると,

$$
\begin{aligned}
f(t) = f_I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} A_1 f_I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 f_I +\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} \int_{t_I}^{t_2} dt_{3} A_1 A_2 A_3 f_3
\end{aligned}
$$

これを繰り返すと,

$$
\begin{aligned}
f(t) &= \Big( I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} A_1 + \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 +\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} \int_{t_I}^{t_2} dt_{3} A_1 A_2 A_3 + \cdots \Big) f_I
\end{aligned}
$$

が得られます. 例えば,$(\cdots)$の級数において,$A$について$3$次の項

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} \int_{t_I}^{t_2} dt_{3} A_1 A_2 A_3
\end{aligned}
$$

は,積分区間について$t_I\le t_3 \le t_2 \le t_1 \le t$ という制限がついていて,一般には行列$A_1, A_2, A_3$は互いに交換しないことに注意しましょう.

ここで,妄想…

積分区間の上限をすべて$t$に揃っていて,$A_1 = A_2 = A_3=A(t)$で,係数に$1/3!$がついているなら,

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{3!} \Big(\int_{t_I}^t dt’ A(t’) \Big)^3
\end{aligned}
$$

で,同様に$n$次の項が

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n!} \Big(\int_{t_I}^t dt’ A(t’) \Big)^n
\end{aligned}
$$

となっていれば,この級数は指数関数を使って

$$
\begin{aligned}
\exp \Big( \int_{t_I}^t dt’A(t’) \Big)
\end{aligned}
$$

とまとめられそうですね.

$T$積というトリックを使うことで,この現実と妄想のギャップを埋めて,

$$
\begin{aligned}
T\exp \Big( \int_{t_I}^t dt’A(t’) \Big)
\end{aligned}
$$

と表すのがダイソンのアイデアになります.

$n=2$ について調べる

まず,

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 = \frac{1}{2!} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} T(A_1 A_2)
\end{aligned}
$$

と書き直せることを示しましょう.

左辺の2重積分の2つめの積分区間を$t_1$から$t$まで延長します.

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 = \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 + 0\times \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_1}^{t} dt_{2} A_1 A_2
\end{aligned}
$$

もともと区間$[t_1,t]$の積分はなかったので,係数として0をかけておきました.右辺は,ステップ関数を使ってひとまとめにできます.
$\theta_{12}:=\theta(t_1-t_2)$と略記すると,

$$
\begin{aligned}
\theta_{12} A_1A_2=
\begin{cases}
A_1A_2 & (t_1 > t_2) \\
0 & (t_1 < t_2)
\end{cases}
\end{aligned}
$$

なので,

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 = \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \theta_{12} A_1 A_2
\end{aligned}
$$

とひとまとめにできました.
右辺の積分変数を$t_1 \leftrightarrow t_2$の入れ替えをおこなっても積分の値は変わらないので

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \theta_{12} A_1 A_2
=
\int_{t_I}^{t} dt_{2} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \theta_{21} A_2 A_1
\end{aligned}
$$

したがって,

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 = \frac{1}{2!} \Big[\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \theta_{12} A_1 A_2 + \int_{t_I}^{t} dt_{2} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \theta_{21} A_2 A_1 \Big]
\end{aligned}
$$

ともかけます.この右辺をまとめると,

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 &= \frac{1}{2!} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} ( \theta_{12} A_1 A_2 + \theta_{21} A_2 A_1 ) \\
&= \frac{1}{2!} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \, T( A_1 A_2)
\end{aligned}
$$

となります.

# $n=3$では…

同様に $n=3$についても手を動かしてみると,今度は積分変数$t_1, t_2, t_3$の入れ替えが,$3!$通りあるので,

$$
\begin{aligned}
\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} \int_{t_I}^{t_2} dt_{3} A_1 A_2 A_3
= \frac{1}{3!} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \int_{t_I}^{t} dt_{3} \, T( A_1 A_2 A_3)
\end{aligned}
$$

が確認できるはずです.

 

# 形式解の完成

以上から,

$$
\begin{aligned}
f(t) &= \Big( I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} A_1 + \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} A_1 A_2 +\int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t_1} dt_{2} \int_{t_I}^{t_2} dt_{3} A_1 A_2 A_3 + \cdots \Big) f_I \\
&= \Big( I + \int_{t_I}^{t} dt_{1} A_1
+ \frac{1}{2!} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \, T( A_1 A_2)
+\frac{1}{3!} \int_{t_I}^{t} dt_{1} \int_{t_I}^{t} dt_{2} \int_{t_I}^{t} dt_{3} \, T( A_1 A_2 A_3)
+ \cdots \Big) f_I \\
&= T\exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ A(t’)\Big) f_I
\end{aligned}
$$

が得られました.

 

 

# 次回予告

次回からは,この形式解の使い方についてお話する予定です.

– $A(t)$が1次元の場合
– $A(t)$が対角行列の場合
– $A(t)$が$|\lambda| \ll 1$をみたすパラメタ$\lambda$を用いて,$A(t) = A_0(t) + \lambda V(t)$のように対角行列$A_0(t)$と非対角$V(t)$に分離できる場合

について,それぞれ手を動かしてみて,ダイソン級数と戯れたいと思っています.