前回のあらすじ

時間依存する要素を持つ$n$次正方行列$A(t)$で表される微分方程式($f(t)$は$n$次元ベクトル)
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = A(t) f(t)
\end{aligned}
$$
の形式解は,$T$積を用いて
$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$
と表せるのでした.ここで
$$
\begin{aligned}
T\exp\left( \int_{t_i}^tdt’ A(t’) \right) := \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\int_{t_I}^t dt_1\cdots\int_{t_I}^t dt_n T\Big( A(t_1) \cdots A(t_n) \Big)
\end{aligned}
$$
はダイソン級数と呼ばれています.$T$は時間順序積(あるいはT積)と呼ばれていて,
$$
\begin{aligned}
T(A(t_1) \cdots A(t_n))
\end{aligned}
$$
は,$A(t_1), \cdots, A(t_n)$ の引数$t_1, \cdots, t_n$が,右から左に向かって順番に大きくなるように$A(t_1), \cdots, A(t_n)$を並べ替えた積を意味していて,例えば$n=2$の場合には,
$$
\begin{aligned}
T( A(t_1)A(t_2)) =
\begin{cases}
A(t_1) A(t_2) & \mathrm{t_1>t_2} \\
A(t_2) A(t_1) & \mathrm{t_1<t_2}
\end{cases}
=T( A(t_1)A(t_2)) = \theta (t_1 -t_2) A(t_1)A(t_2) + \theta (t_2-t_1) A(t_2)A(t_1)
\end{aligned}
$$
です.ここで,$\theta (t)$はステップ関数
$$
\begin{aligned}
\theta (t) =
\begin{cases}
1 & t>0 \\
0 & t<0
\end{cases}
\end{aligned}
$$
です.

この形式解
$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$
は,初期条件で決まるベクトル$f(t_I)$に行列
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I)=T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right)
\end{aligned}
$$
を作用させると,時刻$t$におけるベクトル$f(t)$が
$$
\begin{aligned}
f(t)= U(t;t_I)f(t_I)
\end{aligned}
$$
と与えられると解釈できます.この関係式を元の微分方程式に代入すると行列$U(t;t_I)$に関する微分方程式
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}U(t;t_I) = A(t) U(t;t_I)
\end{aligned}
$$
に書き換えられるので,この行列に関する微分方程式の形式解が,
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I)=T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right)
\end{aligned}
$$
となるともいえます.
なお,$U(t;t_I)$は,
$$
\begin{aligned}
U(t_I;t_I) = I
\end{aligned}
$$
を満たします($I$は単位行列).

特に$A(t)$が,エルミート行列$H(t)$をつかって
$A(t) = H(t)/i\hbar$とかけるとき($i$は虚数単位,$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割ったもの)には,シュレーディンガー方程式に相当します.このとき,$U$はユニタリ行列です.

以下では$U$としてユニタリ行列を考えることにします.

今回の目標

行列$U(t;t_I)$に関する微分方程式
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}U(t;t_I) = A(t) U(t;t_I)
\end{aligned}
$$
の形式解
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I)=T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right)
\end{aligned}
$$
について,行列$A(t)$として次のような簡単な場合について手を動かしてみて,この形式解に親しむのが今回の目標です.

– $A(t)$が1次元の場合
– $A(t)$が対角行列の場合
– $A(t)$が$|\lambda| \ll 1$をみたすパラメタ$\lambda$を用いて,$A(t) = A_0(t) + \lambda V(t)$のように対角成分$A_0(t)$と非対角成分$V(t)$に分離できる場合

$A(t)$が1次元の場合

$A(t)$が1次元の場合には任意の$t$について$A(t)$は可換なので,T積が不要になります.

1次正方行列$U(t;t_I)$に関する微分方程式
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}U(t;t_I) = A(t) U(t;t_I)
\end{aligned}
$$
を$U(t_I;t_I)=I$の条件の下で(形式的に)解くと,
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I) = \exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ A(t’) \Big)
\end{aligned}
$$
となります.$A(t) = a$ ($a$は定数)のときは,指数関数の満たす微分方程式なので,その解は
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I) = e^{a(t-t_I)}
\end{aligned}
$$
となります.

 

 $A(t)$が対角行列の場合

$A(t)$が対角行列の場合も,実質的には$A(t)$が1次正方行列の場合と同じです.

元の微分方程式
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = A(t) f(t)
\end{aligned}
$$
に立ち返ってみると,ベクトル$f(t)$の成分を
$$
\begin{aligned}
f(t) =
\begin{pmatrix}
f^1(t) \\
\vdots \\
f^n(t)
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
として,対角行列$A(t)$の$(i,i)$成分を$a^i(t)$とすると,微分方程式は次の独立な$n$個の微分方程式になります.
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f^i(t) = a^i(t) f^i(t)\,\,(i=1,\dots,n)
\end{aligned}
$$
したがって形式解は
$$
\begin{aligned}
f^i(t) =\exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ a^i(t’) \Big) f^i(t_I)
\end{aligned}
$$
です.

これを$U(t;t_I)$で書くと
$$
U(t;t_I)=
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ a^1(t’) \Big) & & & & \\
& \exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ a^2(t’) \Big) & & \Huge{0} & \\
& & \ddots & & \\
& \Huge{0} & & \exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ a^{n-1}(t’) \Big) & \\
& & & & \exp \Big( \int_{t_I}^t dt’ a^{n}(t’) \Big)
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
です.

対角行列の成分が定数の場合にはやはり指数関数になります.
$$
\begin{aligned}
f^i(t) =e^{a^i (t-t_I)}f^i(t_I)
\end{aligned}
$$
このとき,
$$
U(t;t_I)=
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
e^{a^1 (t-t_I)} & & & & \\
& e^{a^2 (t-t_I)} & & \Huge{0} & \\
& & \ddots & & \\
& \Huge{0} & & e^{a^{n-1} (t-t_I)} & \\
& & & & e^{a^n (t-t_I)}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
です.

$A(t)$の非対角部分が摂動として扱える場合

次に,$A(t)$が$|\lambda| \ll 1$をみたすパラメタ$\lambda$を用いて,$A(t) = A_0(t) + \lambda V(t)$のように対角成分$A_0(t)$と非対角成分$V(t)$に分離できる場合について考えてみましょう.

$\lambda=0$の場合については,すでに結果を知っているので,それに対する微小な$\lambda$による補正がどうなるか?を調べる問題です.

量子論では「$n$個の独立な量子のスペクトルがわかっているときに,そこに系の典型的なエネルギースケールに対して充分小さなエネルギースケールの相互作用(摂動)を加えると,どうのようにスペクトルが変化するか?」という問題を説いていることに対応します.

せっかく$A_0(t)$が対角行列なので,形式解にそのまま$A(t) = A_0(t) + \lambda V(t)$を代入して,
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ [A_0(t) + \lambda V(t)] \right)
\end{aligned}
$$
と書くのは不満です.できることなら,

「($A_0(t)$だけの部分) と ($\lambda V(t)$だけの部分)が分離された形式解」

のように表したいです.

実は,行列$U(t;t_I)$の微分方程式(あるいはシュレーディンガー方程式)をユニタリ変化して,表示を替えることで,この願望を叶えることができます.そうして得られた表示のことを相互作用表示と呼び,量子論の摂動計算で中心的な役割を果たします.

 次回予告

次回は,実際にどのようなユニタリ変換をすれば,形式解を都合よく「($A_0(t)$だけの部分) と ($\lambda V(t)$だけの部分)が分離」の形にできるのかについて調べます.