今回の目標

時間依存する要素を持つ$n$次正方行列$A(t)$で表される微分方程式($f(t)$は$n$次元ベクトル)
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = A(t) f(t)
\end{aligned}
$$
の形式解は,$T$積を用いて
$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$
と表せるのでした.

この形式解
$$
\begin{aligned}
f(t) = T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right) f(t_I)
\end{aligned}
$$
は,初期条件で決まるベクトル$f(t_I)$に行列
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I)=T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right)
\end{aligned}
$$
を作用させると,時刻$t$におけるベクトル$f(t)$が
$$
\begin{aligned}
f(t)= U(t;t_I)f(t_I)
\end{aligned}
$$
と与えられると解釈できます.この関係式を元の微分方程式に代入すると行列$U(t;t_I)$に関する微分方程式
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}U(t;t_I) = A(t) U(t;t_I)
\end{aligned}
$$
を境界条件$U(t_I;t_I) = I$の下で解く問題に帰着されるので,この行列に関する微分方程式の形式解が,
$$
\begin{aligned}
U(t;t_I)=T\exp\left( \int_{t_I}^tdt’ A(t’) \right)
\end{aligned}
$$
となるともいえます.特に$A(t)$が,エルミート行列$H(t)$をつかって
$A(t) = H(t)/i\hbar$とかけるとき($i$は虚数単位,$\hbar$はプランク定数を$2\pi$で割ったもの)には,シュレーディンガー方程式に相当します.このとき,$U$はユニタリ行列です.以下では$A(t) = H(t)/i\hbar$の場合について調べます.

– $A(t)$が$|\lambda| \ll 1$をみたすパラメタ$\lambda$を用いて,$A(t) = A_0(t) + \lambda V(t)$のように対角成分$A_0(t)$と非対角成分$V(t)$に分離できる場合

について,前回予告したように,ある種のユニタリ変換を行って,微分方程式の表示を変換することによって,

「($A_0(t)$だけの部分) と ($\lambda V(t)$だけの部分)が分離された形式解」

のように表す方法を紹介します.

摂動部分を分離するようなユニタリ変換を探す

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = (A_0(t)+\lambda V(t)) f(t)
\end{aligned}
$$
という微分方程式を,時間依存するユニタリ行列$u(t)$を用いて変換します.
$$
\begin{aligned}
uu^\dagger = I
\end{aligned}
$$
という関係式をつかうと,

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}(u u^\dagger f(t)) = (A_0(t)+\lambda V(t)) u u^\dagger f(t)
\end{aligned}
$$
ここで,$\tilde{f}=u^\dagger f$とおくと,
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}(u \tilde{f}(t)) = (A_0(t)+\lambda V(t)) u\tilde{f}(t)
\end{aligned}
$$
左辺の微分演算子が$u$にも作用することに注意しつつ,両辺に$u^\dagger$を左から作用させると,
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\tilde{f}(t) = \Big( u^\dagger A_0(t) u +u^\dagger \lambda V(t)u – u^\dagger\frac{du}{dt} \Big) \tilde{f}(t)
\end{aligned}
$$
という新しい微分方程式が得られます.
もしも,
$$
\begin{aligned}
u^\dagger A_0(t) u- u^\dagger\frac{du}{dt} =0
\end{aligned}
$$
を満たすような$u(t)$を見つけることができたら,
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\tilde{f}(t) = \Big( u^\dagger \lambda V(t)u \Big) \tilde{f}(t)
\end{aligned}
$$
となるので,摂動部分のみが分離された微分方程式が得られます.

実際$u(t)$として,
$$
\begin{aligned}
u_0(t) = e^{A_0 (t-t_I)}
\end{aligned}
$$
をとると($u_0(t)^\dagger = e^{-A_0(t-t_I)}$であることに注意)
$$
\begin{aligned}
u_0^\dagger A_0(t) u_0- u_0^\dagger\frac{du_0}{dt} =0
\end{aligned}
$$
が成り立ちます.

つまり,
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}f(t) = (A_0(t)+\lambda V(t)) f(t)
\end{aligned}
$$
という微分方程式は,ユニタリ変換
$$
\begin{aligned}
u_0(t) = e^{A_0 (t-t_I)}
\end{aligned}
$$
を用いて,
$$
\begin{aligned}
f&\rightarrow\tilde{f}=u_0^\dagger f\\
V&\rightarrow \tilde{V} = u_0^\dagger V u_0
\end{aligned}
$$
と変換させることで,
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\tilde{f}(t) = \lambda \tilde{V}(t)\tilde{f}(t)
\end{aligned}
$$
に書き換えられることがわかりました.このように摂動部分を分離した表示を相互作用表示と呼びます.

相互作用表示で形式解を表す

こうして得られた相互作用表示の微分方程式
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\tilde{f}(t) = \lambda \tilde{V}(t)\tilde{f}(t)
\end{aligned}
$$
の形式解は,ダイソン級数を用いて直ちに
$$
\begin{aligned}
\tilde{f}(t) = T\exp\Big( \int_{t_I}^t dt’ \lambda\tilde{V}(t’) \Big) \tilde{f}(t_I)
\end{aligned}
$$
と表せます.
$$
\begin{aligned}
\tilde{f}=u_0^\dagger f
\end{aligned}
$$
を使って$f$に戻すと,
$$
\begin{aligned}
f(t) &= u_0 \, T\exp\Big( \int_{t_I}^t dt’ \lambda\tilde{V}(t’) \Big) u_0^\dagger f(t_I) \\
&= e^{A_0 (t-t_I)} T\exp\Big( \int_{t_I}^t dt’ \lambda\tilde{V}(t’) \Big) e^{-A_0 (t-t_I)} f(t_I)
\end{aligned}
$$
となり,

「($A_0(t)$だけの部分) と ($\lambda V(t)$だけの部分)が分離された形式解」
が確かに得られました.

実際には,指数関数の中の$\tilde{V}$に$A_0$が含まれているわけですが,$u_0$による相似変換自体は簡単に計算できますので,摂動部分のダイソン級数の評価に集中できるのが利点です.とくに,$\lambda$について1次,2次,…と次数を上げていくことで,理論予言と実験結果がものすごい精度で一致するケースが知られています(気になった方は,量子電磁力学(Quantum Electrodynamics: QED)について調べてみてください).

 まとめ

3回にわたって,ダイソン級数と相互作用表示のキモチを書いてみました.ほとんどの場の量子論の教科書には,最初の方にT積とダイソン級数の話がさら〜っと書かれていて,私自身,学生のときに解読にとても苦労しました.場の量子論の教科書では記法がもっと煩雑で($i\hbar$をあらわに書いていて,分母にある$i$を分子に$-i$にして移動したり…一旦慣れてしまえば何ということもないのですけど,慣れないうちはちょっとしたことも辛く感じるものです),計算式をノートに写経するだけでもウンザリしたことを思い出します(一つ一つの式が長大なので,巨大なスケッチブックを計算ノートがわりにしたこともあります).

今回のような初等的な状況($n$次正方行列で,対角行列にとても近い状況)を想像しながら手を動かすと,近寄りがたかった場の量子論の教科書の摂動計算の記述を解読してみようかという気になりやすいのではないかと思っています.